Zernike正交多项式是一组在单位圆盘上正交的基函数，通常用于描述光学和光波表面的形貌，例如用于描述光学镜片的像差。这些正交多项式由名为Zernike多项式的函数组成，用Z(n, m)表示，其中n和m是非负整数，满足一些条件。

Zernike多项式的定义形式如下：

\[\mathop Z\nolimits_n^m (r,\theta ) = \mathop R\nolimits_n^m (r) \bullet {e^{im\theta }}\]

在这里：

\(n\)是正整数，表示径向阶数（radial order）。

\(m\) 是整数，表示方位阶数（azimuthal order），满足\( - n \leqslant m \leqslant n\)。

\(r\)是极坐标的径向坐标，取值范围为\(\left[ {0,1} \right]\)。

\(θ \)是极坐标的角度坐标。

\(\mathop R\nolimits_n^m (r)\)是径向多项式，其定义为：

\[\mathop R\nolimits_n^m (r) = \sum\limits_{k = 0}^{(n - \left| m \right|)/2} {\frac{{{{( - 1)}^k}(n - k)!}}{{k! \cdot ((n + \left| m \right|)/2 - k)! \cdot ((n - \left| m \right|)/2 - k)!}}{r^{n - 2k}}} \]

其中，\(\sum \)表示求和，阶乘\(n!\)表示\(n\)的阶乘。

这些多项式具有正交性质，即在单位圆盘上的积分：

\[\int_0^{2\pi } {\int_0^1 {\mathop Z\nolimits_n^m (r,\theta )} }  \cdot \mathop Z\nolimits_{n'}^{m'} (r,\theta ) \cdot r dr d\theta  = \pi {\delta _n}_{,n'}{\delta _m}_{,m'}\]

其中，\({\delta _i}_{,j}\)是Kronecker delta，当\(i = j\)时为1，否则为0。

这种正交性质使得Zernike多项式在描述光学系统中的像差等问题时非常有用。它们通常用于展开光学相位的形状，以便分析和校正光学系统的性能。